Question

如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在轴的正半轴上，O为坐标原点.现将正方形OABC绕O点按顺时针方向旋转.

　(1)当点A第一次落到轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；

　（2）若线段AB与轴的交点为M（如图2）,线段BC与直线的交点为N.设的周长为,在正方形OABC旋转的过程中值是否有改变？并说明你的结论；

(3)设旋转角为，当为何值时，的面积最小？求出这个最小值， 并求出此时△BMN的内切圆半径.

      

Answer

（1）S=  

(2) 的周长为定值2. （3）.

【解析】此题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、扇形面积求法等知识，利用图形旋转的变化规律得出对应边之间关系是解题关键

（1）根据正方形的性质得出∠AOB=∠BOC=45°，BO=，再利用S=S扇形OBB′+S△OC′B′-S△OCB-S扇形OCC′=S扇形OBB′-S扇形OCC′求出即可；

（2）首先延长BA交直线y=-x于E点，Rt△AEO≌Rt△CNO，得出AE=CN，OE=ON，进而得出△MOE≌△MON，得出ME=MN，进而得出l的值不变；

（3）设MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN2=MB2+NB2，利用 MN+MB+NB=2，得出m2=（1-t）2+（2-m-1+t）2，即可得出m的取值范围，即可得出，△OMN的面积最小值，再利用直角三角形内切圆半径求法得出答案即可

【解析】
（1）设旋转后C在、B在、A在.

S= ………….4分

(2)延长BA交直线于E点，在与中，

 所以所以

又所以

所以故的周长为定值2.…..10分

（3）因为,

设由（2）知，在中，

因为  ,所以，得：

因为，所以（舍去）或

所以的最小值为.                   …….13分

此时△=0 ∴ ∴A为ME的中点.

又因为所以OA是的平分线，

所以.     ……15分

在中，设的内切圆半径为r,所以    . ……18分