Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①， ②.其中，是与无关的常数.

 （Ⅰ）若{}是等差数列，是其前项的和，，，证明：;

 （Ⅱ）设数列{}的通项为，且，求的取值范围；

（Ⅲ）设数列{}的各项均为正整数，且.证明.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）M≥7（Ⅲ）见解析

【解析】【解析】
（Ⅰ）设等差数列{}的公差是d，则，解得，

所以          (2分)

由=－1＜0

得适合条件①；

又所以当n=4或5时，取得最大值20，即≤20，适合条件②

综上，                  （4分）

（Ⅱ）因为,所以当n≥3时，，此时数列{bn}单调递减；当n=1，2时，，即b1＜b2＜b3，因此数列{bn}中的最大项是b3=7

所以M≥7               （8分）

（Ⅲ） 假设存在正整数k，使得成立

由数列{}的各项均为正整数，可得，即

因为，所以

由

因为

……………………依次类推，可得

设

这显然与数列{}的各项均为正整数矛盾！

所以假设不成立，即对于任意n∈N*,都有成立.          ( 14分)