Question

已知函数，（）.

（Ⅰ）已知函数的零点至少有一个在原点右侧，求实数的范围.

（Ⅱ）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.

试问：函数（且）是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）函数不存在“中值相依切线”，理由见解析。

【解析】【解析】
(Ⅰ)(1)当时，，直线与轴的交点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.      (1分)

(2)当时，，抛物线的顶点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.            (2分)

（3）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数的零点不在原点右侧，不满足条件.        (3分)

（4）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.           (4分)

（5）当时，，抛物线开口向下且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.                         (5分)

综上可得，实数的取值范围是.           (6分)

 (Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.

           （8分）

曲线在点处的切线斜率

，        （9分）

依题意得：.

化简可得： ，  即=.     （11分）

设 ()，上式化为：, 即.    （12分）

令,.

因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.

所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.             （14分）