Question

(本小题满分12分)

已知二次函数，，的最小值为．

    ⑴ 求函数的解析式；

   ⑵ 设，若在上是减函数，求实数的取值范围；

Answer

⑴  .   ⑵． 

【解析】本试题主要是考查了二次函数的 解析式的求解，以及二次函数的最值的求解的综合运用。

（1）根据题意设， ∵ 的最小值为，∴ ，且，        ∴  ，得到解析式。

（2）因为，那么对属于参数m进行分类讨论，得到单调性，求解参数的范围。

【解析】
⑴ 由题意设，

     ∵ 的最小值为，

∴ ，且，        ∴  ，

 .                                      

⑵ ∵ ，

①             当时，在[-1, 1]上是减函数，

符合题意.                          

② 当时，对称轴方程为：，

                  ⅰ）当，即 时，二次函数的图象开口向上，

由，   得   ， ∴ ；

ⅱ）当， 即  时，二次函数的图象开口向下，

由，得 ， ∴.

综上知，实数的取值范围为．