Question

（本题满分12分）

如图，已知直平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中点，A₁D⊥BE．

（I）求证：A₁D⊥平面BDE；

（II）求二面角B―DE―C的大小；

（III）求点B到平面A₁DE的距离    

Answer

(1)见解析；(2)∠BNM=arctan (10’)(3)BN==a 。

【解析】(1)因为A1D⊥BE,再根据AD⊥BD,,所以,

所以，因而,问题得证.

(2)作出二面角的平面角是解题的关键，具体做法取CD中点M，连BM，则BM⊥平面CD1，作MN⊥DE于N，连NB，则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角，然后解三角形求角即可.

(3)在（2）的基础上，易证BN长就是点B到平面A1DE的距离,因而可得BN==a.

(1)∵AA1⊥面ABCD，∴AA1⊥BD，

又BD⊥AD，∴BD⊥A1D        (2’)

又A1D⊥BE，

∴A1D⊥平面BDE                (3’)

(2)连B1C，则B1C⊥BE，易证RtΔCBE∽RtΔCBB1，

∴=，又E为CC1中点，∴BB12=BC2=a2，

∴BB1=a          (5’)

取CD中点M，连BM，则BM⊥平面CD1，作MN⊥DE于N，连NB，则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角                (7’)

RtΔCED中，易求得MN=，RtΔBMN中，tan∠BNM==，∴∠BNM=arctan (10’)

(3)易证BN长就是点B到平面A1DE的距离    (11’)

BN==a        (12’)

    (2)另【解析】
以D为坐标原点，DA为x轴、DB为y轴、DD1为z轴建立空间直角坐标系

则B(0,a,0)，设A1(a,0,x)，E(-a,a, )，=(-a,0,-x)，=(-a,0, )，∵A1D⊥BE

∴a2-x2=0，x2=2a2，x=a，即BB1=a.