Question

（本小题满分14分）

已知函数在上有定义，对任意实数和任意实数，都有.

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明（其中k和h均为常数）；

（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性.

Answer

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）

（Ⅲ）在区间内单调递减, 在区间（）内单调递增.

【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理的能力。

（1）对于任意的a>0，，均有  ①在①中取

(2) 令时，∵，∴，则

而时，，则

而，    ∴，即成立

赋值法得到结论。

（3）由（Ⅱ）中的③知，当时，，

分析导数得到单调区间。

（Ⅰ）证明：对于任意的a>0，，均有  ①

  在①中取

  ∴  ②

（Ⅱ）证法一：当时，由①得   

 取，则有     ③

        当时，由①得 

        取，则有    ④

 综合②、③、④得;

证法二:

令时，∵，∴，则

而时，，则

而，    ∴，即成立

令，∵，∴，则

而时，，则

即成立。综上知

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，当时，，

从而

又因为k>0，由此可得

－

0

+

↘

极小值2

↗

所以在区间内单调递减，在区间（）内单调递增。

解法2：由（Ⅱ）中的③知，当时，，

设    则

又因为k>0，所以

（i）当 ；

（ii）当

所以在区间内单调递减, 在区间（）内单调递增.