Question

（本小题满分12分）设函数 

 (1)当时，求函数的最大值；

(2)令，（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer

（1）的极大值为，此即为最大值 ；

(2）≥；(3) 。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），

当时，，

判定单调性得到极值。

（2）转化为，，则有≤，在上恒成立，所以≥，解决。

（3）因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，设，分析图像与x轴的交点问题。

解: （1）依题意，知的定义域为（0，+∞），

当时，，

……………2分

令=0，解得．（∵）

因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。

所以的极大值为，此即为最大值 ……………4分

(2），，则有≤，在上恒成立，所以≥，             

当时，取得最大值，所以≥………8分

(3)因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，设，

则．令，．  

因为，，所以（舍去），，

当时，，在（0，）上单调递减，

当时，，在（，+∞）单调递增

当时，=0，取最小值． 则既……………10分所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得……………12分