Question

（本小题满分14分）

已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．

Answer

（1）动点的轨迹的方程．

（2）当时，的最大值为．

【解析】求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．本题是利用的直接法．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．

（1）设，则，将向量的关系式转化为坐标关系式可知结论。

∵，

∴

（2）设圆的圆心坐标为，则

圆的半径为．

圆的方程为，令y=0,整理得到,然后设点表示长度得到结论。

（1）【解析】
设，则，

∵，

∴． --------------------2分

即，即，

所以动点的轨迹的方程． --------------------4分

（2）【解析】
设圆的圆心坐标为，则．           ①

圆的半径为．

圆的方程为．

令，则，

整理得，．                             ②

由①、②解得，． --------------------6分

不妨设，，

∴，．--------------------8分

∴ 

        ，                     ③

 当时，由③得，．

当且仅当时，等号成立．--------------------12分

当时，由③得，． --------------------13分

故当时，的最大值为． --------------------14分