Question

（本题满分14分）

如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．

⑴求证：；

⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．

⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．

Answer

⑴见解析；⑵当为中点，即时，平面；

（3）．

【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中点线面的位置关系的综合运用。

（1）利用线面垂直的性质定理，得到线线垂直的判定。

（2）要使平面，只需，只要建立直角坐标系，解得。

（3）作于，连结，∵面，四边形是正方形，∴，又∵，，∴，∴，且，

∴是二面角的平面角，那么利用直角三角形得到。

⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点，

∴，．

∴平面，

∵平面，

∴                    

⑵当为中点，即时，平面，理由如下：

连结，由为中点，为中点，知，

而平面，平面，

故平面．

⑶作于，连结，

∵面，四边形是正方形，

∴，

又∵，，∴，

∴，且，

∴是二面角的平面角，

即，

∵⊥面，∴就是与底面所成的角

连结，则，，

∴，

∴，∴，

∴

∴与底面所成角的正切值是．

另【解析】
以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为，则，，，，，，，．（以下略）