Question

（本小题满分14分）

已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足

(为坐标原点),记点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程. 

Answer

（1）.  (2) 或.

【解析】本试题主要是考查了轨迹方程的求解，以及直线与抛物线位置关系的综合运用。

（1）设点的坐标为,则点的坐标为.

∵,  ∴，得到关系式。

（2）直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.

   设直线的方程为,与抛物线联立方程组，结合韦达定理和点到直线的距离公式得到结论。

(1) 解:设点的坐标为,则点的坐标为.

∵,  ∴. 

当时,得,化简得.    …… 2分

当时, 、、三点共线，不符合题意，故.

∴曲线的方程为.          …… 4分

(2) 解法1:∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.

   设直线的方程为,       …… 5分

  由 得.

  ∵ 直线与曲线相切,

  ∴,即.        …… 6分

点到直线的距离        …… 7分

                   …… 8分

                  …… 9分

.                                   …… 10分

当且仅当，即时，等号成立.此时.   ……12分

∴直线的方程为或.                 …… 14分

 解法2：利用导数求切线。