Question

（本题满分14分）

设函数，且，其中是自然对数的底数.

（1）求与的关系；

（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的

取值范围.

Answer

（1） ；（2）.  （3）.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用题目中的条件f(e)的值，得到p,q的关系式。

（2）因为函数在其定义域内为单调函数，那么导函数应该是恒大于等于零或者恒小于等于零，那么得到参数的范围。

（3）构造函数，通过研究函数的最值，得到参数的范围。

【解析】
（1）由题意得           

而，所以、的关系为         

（2）由（1）知，                    

令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.      

①当时，，

因为＞，所以＜0，＜0，

∴在内是单调递减函数，即适合题意；

②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，

∴，

只需，即，

∴在内为单调递增函数，故适合题意.

③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.                     

综上所述，的取值范围为.      

   （3）∵在上是减函数，

 ∴时，；时，，即，

当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；

②当0＜＜1时，由，

又由（2）知当时，在上是增函数，

                       ∴＜，不合题意；

③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，

又在上是减函数，故只需＞，   ，

而，，

即  ＞2，      解得＞ ，

综上，的取值范围是.