Question

（本小题满分14分）已知函数在处取得极值.

⑴求的解析式；

⑵设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问：是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；

⑶设函数,若对于任意,总存在,使得,求

实数的取值范围.

Answer

⑴.

⑵存在满足条件的点,此时点的坐标为或.

⑶的取值范围是.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）⑴∵,∴.又在处取得极值.得到参数a,b的值。

（2）由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,

又.则由,得,∴,

（3），分析导数的符号，与单调性的关系得到最值。

【解析】
⑴∵,∴.又在处取得极值.

∴,即,解得,,经检验满足题意,∴.…（4分）

⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,

又.则由,得,∴,

∵,∴,得.故存在满足条件的点,此时点的坐标为或.                   ………… （8分）

⑶解法： ,令,得或.

当变化时,、的变化情况如下表：

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

∴在处取得极小值,在处取得极大值.

又时,,∴的最小值为.     

∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,最小值不大于.又.

∴当 时,的最小值为,由,得；

当时,最小值为,由,得；

当时,的最小值为.由,即,解得或.又,∴此时不存在.                    

综上,的取值范围是.   …………   (14分)

   解法：同解法得的最小值为.   

∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.设,则

得,

或,得或.

∴或时,在上有解,故的取值范围是.

   解法：同解法得的最小值为.  

∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.令,则,∴.

∴当时,；当时,得,不成立,∴不存在；

当时,.令,∵时,,∴在上为减函数,∴,∴.

综上,的取值范围是.