Question

（本小题满分14分）已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，为增函数。

（1）求的值；

（2）对于任意正整数，不等式：恒成立，求实数的取值

范围。

Answer

【解析】
(1)由f(x·y)＝[f(x)]y得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0

∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1……………………3分

∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0   

∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2…………………………6分

 (2)……………………8分

又当时，在区间上为单调递增函数

∴…………………………10分

∴

综上可知，当实数，使时，不等式恒成立．………………14分

【解析】本试题主要是考查了抽象函数的赋值法的运用，以及求解指数式不等式的 综合运用。

（1）由f(x·y)＝[f(x)]y得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0

∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2

（2）因为

又当时，在区间上为单调递增函数

∴，从而分离参数的思想，利用n的范围解得。