Question

 已知函数，若函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象：

（1）写出的解析式  

（2）记，讨论的单调性 

（3）若时，总有成立，求实数的取值范围。

Answer

（1）y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)；    （2）m≤0

【解析】本试题主要是考查了运用对称性求解函数的解析式，以及函数的单调性和最值问题。

（1）设所求函数上任意一点，然后利用对称性证明对称后的点在原来的函数图像上，得到解析式。

（2）因为当x∈[0.1]时，  f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x) =loga[（1+x）/(1-x)]

则利用复合函数单调性得到求解。

（3）时，总有成立，则求解函数的最小值即可得到参数m的范围。

（1）设P（x,y)是函数y=g(x)图象上的任意一点

   则P关于原点的对称点Q的坐标为（-x,-y)

   ∵已知点Q在函数f(x)的图像上

   ∴ -y=f(-x)，而f(x)=loga(x+1)

   ∴ -y=loga(-x+1)

   ∴y=-loga(-x+1)

   而P（x,y)是函数y=g(x)图象上的点

   ∴y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)

    （2）当x∈[0.1]时，

    f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)

            =loga[（1+x）/(1-x)]

  下面求当x∈[0.1]时，f(x)+g(x)的最小值

   令（1+x）/(1-x)=t,求得x= (t-1)/(t+1)

   ∵x∈[0.1]

 ∴ 0≤x≤1

  即0≤(t-1)/(t+1)≤1，解得t≥1

  ∴ （1+x）/(1-x)≥1，又a>1

  ∴ loga[（1+x）/(1-x)])≥loga1=0

 ∴ f(x)+g(x)≥0

 ∴ 当x∈[0.1]时，f(x)+g(x)的最小值为0

 ∵ 当x∈[0.1]时，总有f(x)+g(x)≥m成立

 ∴ m≤0

 ∴所求m的取值范围：m≤0