Question

(本小题满分12分）

设当时，函数的值域为，且当时，恒有，求实数k的取值范围．

Answer

【解析】令t=2，由x1，则,然后采用换元法把原函数转化为,再根据二次函数的性质求出其值域D，然后把当时，恒有，转化为x2+（k-4）x+50当x∈D时恒成立问题，借助二次函数的性质只需区间D的两端点代入这个不等式使不成立即可得到k的不等式组求出k的取值范围.

令t=2，由x1，则t∈（0，2，

则原函数y=t-2t+2=（t-1）+1∈[1，2]，即D=[1，2]，

由题意：f（x）=x2+kx+54x，

法1：则x2+（k-4）x+50当x∈D时恒成立

∴  k-2.

法2：则在时恒成立，故