Question

（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明：见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为．

（3）点满足时，有// 平面．

【解析】本试题主要是考查了空间几何中点，线，面的位置关系的运用。

（1）取中点，连结，．

因为，所以．同时得到 ．  

根据平面．  得到

（2）因为平面平面，且

所以BC⊥平面，则即为直线与平面所成的角

（3）假设存在点，且时，有// 平面，建立直角坐标系来证明。

【解析】
（1）证明：取中点，连结，．

因为，所以．                            

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以．  

所以平面．     所以 ．        ………………4分

（2）解法1：因为平面平面，且

所以BC⊥平面

则即为直线与平面所成的角

设BC=a，则AB=2a，，所以

则直角三角形CBE中，

即直线与平面所成角的正弦值为．               ………………8分

解法2：因为平面平面，且 ，

所以平面，所以．

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，

则．

所以 ，平面的一个法向量为．

设直线与平面所成的角为，

所以 ，           

即直线与平面所成角的正弦值为．      ………8分

（3）【解析】
存在点，且时，有// 平面．       

证明如下：由 ，，所以．

设平面的法向量为，则有

所以   取，得．

因为 ，且平面，所以 // 平面．

即点满足时，有// 平面．               ………………12分