Question

（本小题满分12分）已知函数（）．

（1）试讨论在区间上的单调性；

（2）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：.

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数的运用。

（1）由已知，，根据导数的符号判定函数单调性，得到结论。

（2）因为由题意可得，当时，（，且）.

即  ，

所以，.，借助于不等式来证明。

（1）由已知，.

由，得，.   因为，所以,且．

所以在区间上，；在区间上，.

故在上单调递减，在上单调递增．             ……………6分

（2）证明：由题意可得，当时，（，且）.

即  ，

所以，.      ………8分

因为，且，所以恒成立，

所以，又，

所以，整理得.         

令，因为，所以在上单调递减，

所以在上的最大值为，  所以.…………12分