Question

（本题满分12分）已知函数，．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称；

     证明：当时，

（3）如果且，证明

Answer

（Ⅰ）在区间内是增函数，在区间内是减函数．

函数在处取得极大值．且．

（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析。

【解析】本试题主要是考查了运用导数研究函数的性质的综合运用。

（1）利用导数，结合导数的符号与函数单调性的关系得到第一问中的单调区间和极值问题。

（2）先利用对称性求解函数的解析式，然后构造函数证明不等式恒成立，或者利用第一问的结论，结合对称性得到证明。

（3）由上可知函数的的单调性，结合性质可知不等式的证明。

（Ⅰ）．令，则．

当变化时，的变化情况如下表：

增

极大值

减

所以在区间内是增函数，在区间内是减函数．

函数在处取得极大值．且．

（Ⅱ）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，

所以，于是．

记，则，，

当时，，从而，又，所以，

于是函数在区间上是增函数．

因为，所以，当时，．因此．

（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,与矛盾；

(2) 若，由（Ⅰ）及,得,与矛盾；

根据(1)，(2)可得．不妨设．

由（Ⅱ）可知，所以．

因为，所以，又，由（Ⅰ），在区间内是增函数，

所以 ，即．