Question

设函数。

   （1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

   （2）求函数的极值点。

Answer

（1）。

（2）综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用

（1）因为，若函数是定义域上的单调函数，则只能在上恒成立，，那么运用分离参数的思想得到范围。

（2）有（1）知当时，的点是导数不变号的点，然后对于参数a分类讨论得到函数单调性和极值。

（1），若函数是定义域上的单调函数，则只能在上恒成立，即在上恒成立恒成立，令，则函数图象的对称轴方程是，故只要恒成立，即只要。

（2）有（1）知当时，的点是导数不变号的点，

故时，函数无极值点；

当时，的根是，

若，，此时，，且在上，

在上，故函数有唯一的极小值点；（7分）

当时，，此时，

在都大于，在上小于 ，

此时有一个极大值点和一个极小值点．（11分）

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。