Question

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．

其中正确的序号是________．

Answer

①②⑤ 

【解析】∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），

∴f（x）=-f（x+1）=-[-f（x+1+1）]=f（x+2），

∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．

又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），

∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，

又∵f（x）为偶函数且在[-1，0]上是增函数，

∴f（x）在[0，1]上是减函数，

又∵对称轴为x=1．

∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），

故③④错误，⑤正确．

故答案应为①②⑤