Question

（本题满分14分 ）在锐角中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2sinB(2cos²－1)＝－cos2B.

（1）求B的大小；  

（2）如果，求的面积的最大值.

Answer

（1）B＝；(2)△ABC的面积最大值为。

【解析】(1)由2sinB(2cos2－1)＝－cos2B可得2sinBcosB＝－cos2B,从而得tan2B＝－,得2B＝,∴B＝.

(2)由于B=,b=2,所以由余弦定理4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac,从而得出ac的最大值为4,故面积最大值确定.

【解析】
（1）2sinB(2cos2－1)＝－cos2BÞ2sinBcosB＝－cos2B  Þ  tan2B＝－    ……4分

∵0＜2B＜π,∴2B＝,∴B＝  ……6分

(2)由tan2B＝－  Þ  B＝

∵b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)……10        

∵△ABC的面积S△ABC＝ acsinB＝ac≤

∴△ABC的面积最大值为   ……14