Question

（本题满分14分 ）如图，在三棱柱中，所有的棱长都为2，.

  

（1）求证：；

（2）当三棱柱的体积最大时，

求平面与平面所成的锐角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】(1)因为,取AC的中点M，连接BM，A1M，可知三角形A1AC和三角形ABC都为正三角形，所以易证AC垂直平面A1MB，从而证得.

(2) 当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.由（1）知A1在底面的射影一定在直线BM上，并且三角形A1MB是等腰三角形，

所以当O与M重合时，点到平面的距离最大.然后在此基础上再求二面角的大小即可.

另【解析】
当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，依题意得.

由得，设平面的一个法向量为

而，则，取

而平面，则平面的一个法向量为

于是，

故平面与平面所成锐角的余弦值为.