Question

（本题满分15分 ）已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，求证：．

Answer

（1）在处取得最大值，且最大值为0．（2）． （3）见解析。

【解析】(1)先求出 ,然后求导确定单调区间，极值，最值即可.

(2) 本小题转化为在上恒成立，进一步转化为,然后构造函数，利用导数研究出h(x)的最大值，再利用基础不等式可知,从而可知a的取值范围.

（1），则．…………2分

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减，

所以，在处取得最大值，且最大值为0．     ………………………4分

（2）由条件得在上恒成立．           ………………………6分

设，则．

当时，；当时，，所以，．

要使恒成立，必须．                  ………………………8分

另一方面，当时，，要使恒成立，必须．

所以，满足条件的的取值范围是．            ………………………10分

（3）当时，不等式等价于．……12

令，设，则，

在上单调递增，，

所以，原不等式成立．          ………………15分