Question

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

（Ⅰ）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；

（Ⅱ）设函数f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a^x∈M；

（Ⅲ）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的值.

Answer

（Ⅰ）f(x)= 

（Ⅱ）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：有解，消去y得ax=x,

显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.

于是对于f(x)=ax有 

故f(x)=ax∈M.  

（Ⅲ）实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}  

【解析】（Ⅰ）把函数f(x)= x代入f(x+T)=T f(x)不恒成立，所以 函数f(x)= x 不属于集合M；（Ⅱ）由函数 且的图象与函数的图象有公共点，可得，存在非零常数T，使.把函数代入f(x+T)=T f(x)，结合，可得函数属于集合M；（Ⅲ）先讨论实数是否为0，时显然成立；时，把函数代入整理得恒成立，所以.根据三角函数的诱导公式可得实数的值.