Question

已知函数，（且）。

（1）设，令，试判断函数在上的单调性并证明你的结论；

（2）若且的定义域和值域都是，求的最大值；

（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

Answer

（1）证明略

（2）最大值是

（3）。

【解析】本试题主要是考查了函数的单调性以及函数的定义域和值域的问题综合运用。

（1）根据函数，（且）。设，令，任意取两个变量，作差，变形定号，得到结论。

（2）由（1）知函数af（x） 在上单调递增；因为a>0所以f（x）在[m,n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m,n],则f（m）=m,f（n）=n,即m,n是方程的两个不等的正根，等价于方程有两个不等的正根得到最值。

（3）,则不等式对恒成立，即即不等式,对恒成立,，构造函数求解最值，得到范围。