Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，

求实数的取值范围；

（3）当时，求证：．

Answer

（Ⅰ）当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点． （Ⅱ）． （Ⅲ）证明：见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为，

然后对于参数a分三种情况讨论得到是否有极值，

（2）∵函数在处取得极值，∴，∴，

构造函数求解最值得到参数b的范围。

（3）：要证明，

令，则只要证明在上单调递增即可。

【解析】
（Ⅰ），

当时，在上恒成立，[

函数 在单调递减，∴在上没有极值点；

当时，得，得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点．·················· 4分

（注：分类讨论少一个扣一分。）

（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴， ………………………………………5分

∴，     ……………………………………………………6分

令，可得在上递减，在上递增，………………8分

∴，即．··················· 9分

（Ⅲ）证明：，············ 10分

令，则只要证明在上单调递增，

又∵，

显然函数在上单调递增．··········· 12分

∴，即，

∴在上单调递增，即，

∴当时，有．·················· 14分