Question

（本小题满分12分）如图所示多面体中，⊥平面，为平行四边形，分别为的中点，，，.

（1）求证：∥平面；

（2）若∠＝90°，求证;

（3）若∠＝120°，求该多面体的体积.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）该五面体的体积为 。

【解析】（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO，DO，可证FO∥ED，且FO=ED，所以四边形EFOD是平行四边形，从而可得EF∥DO，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PDC；

（Ⅱ）先证明PD⊥平面ABCD，再证明BE⊥DP；

（Ⅲ）连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．

（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，∵F,O分别为BP，PC的中点，

∴∥BC，且,又ABCD为平行四边形,∥BC，且,

∴∥ED，且

∴四边形EFOD是平行四边形          --------------------------------2分

即EF∥DO   又EF平面PDC   ∴EF∥平面PDC．     ---------------------- 4分

（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，又AD⊥平面PDC  ∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD,           ------------- 6分

  ∵BE平面ABCD，∴BE⊥DP              ------------ 8分

（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，

所以三棱锥与三棱锥体积相等，

即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.

∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP＝120°PC=2，

由余弦定理并整理得,  解得DC=2   ------------------- 10分

∴三棱锥的体积

∴该五面体的体积为                         -------------------- 12分