Question

（本小题满分13分）已知函数．

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．

Answer

（1）．（2）的取值范围为．（3）当时，有最大值0.

【解析】(1)根据建立关于a的方程求出a的值.

(2)本小题实质是在区间上恒成立，

进一步转化为在区间上恒成立,

然后再讨论a=0和两种情况研究.

(2) 时，方程可化为，,

问题转化为在上有解，

即求函数的值域,然后再利用导数研究g(x)的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.

【解析】
（1）．………1分

    因为为的极值点，所以．………………………2分

    即，解得．…………………………………3分

    又当时，，从而的极值点成立．…………4分

（2）因为在区间上为增函数，

    所以在区间上恒成立．…5分

    ①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故

符合题意．…………………………6分

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，

所以上恒成立．……………7分

    令，其对称轴为，……………8分

    因为所以，从而上恒成立，只要即可，

因为，     

解得． u……………………………………9分

因为，所以．

综上所述，的取值范围为．…………………………………10分

（3）若时，方程可化为，．

    问题转化为在上有解，

    即求函数的值域．……………………11分

以下给出两种求函数值域的方法：

方法1：因为，令，

    则                    ，…………………………………12分

    所以当，从而上为增函数，

    当，从而上为减函数，………………………13分

    因此．

    而，故，

    因此当时，取得最大值0．…………………………………………14分

方法2：因为，所以．

设，则．

    当时，，所以在上单调递增；

    当时，，所以在上单调递减；

    因为，故必有，又，

    因此必存在实数使得，

    ，所以上单调递减；

      当，所以上单调递增；

      当上单调递减；

    又因为，

    当，则，又．

    因此当时，取得最大值0.……………………………14分