Question

（本小题满分12分）数列｛a_n｝满足a₁=1,a_n=a_n-1+1　 (n≥２)

⑴　写出数列｛a_n｝的前５项；

⑵　求数列｛a_n｝的通项公式。

Answer

⑴ a1=1 ,a2=⑵ an=2。

【解析】本试题主要是考查了数列递推关系求解数列的通项公式和前n项和。

（1）对于n令值，得到数列的前几项的值。

（2）根据前几项，归纳猜想，得到数列的通项公式，并运用数学归纳法加以证明。

解 ⑴ a1=1 ,a2=

（ 猜想   ｛an-2｝是等比数列 ）………4分

⑵ 解法一 由an=an-1+1 (n≥２)  得an－2=(an-1－2)  ………7分

令 bn= an－2  则bn=bn-1

又b1=a1－2=-1  故｛bn｝是等比数列，首项－1，公比为，………9分

 bn=  ………11分

于是 an=2………12分

解法二 设 an+k=h(an-1+k)其中k、h为待定系数。

将an=han-1+kh-k  与  an=an-1+1  比较得  h= , k=－2

故an－2=(an-1－2)   (n≥２)       而  a1－2=－1

数列｛an－2｝是以 为公比，－1首项的等比数列。

an－2=，   an=2。