Question

（本小题满分14分）正方体，，E为棱的中点．

(Ⅰ) 求证：；  (Ⅱ) 求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer

(Ⅰ)证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；

（3）．   ．

【解析】本试题主要是考查线线的垂直和线面的平行，以及棱锥的体积的求解综合运用。

（1）结合线面垂直的性质定理和判定定理的综合运用，求证线线垂直。

（2）利用线面平行的判定定理得到证明。

（3）先求解底面的面积，结合锥体的高，得到三棱锥体积。

【解析】
  (Ⅰ)证明：连结，则//，  

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．    ∵面，∴，

∴．  ………5分

（Ⅱ）证明：作的中点F，连结．

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴ ．

∵是的中点，∴，

又，∴．

∴四边形是平行四边形，//，

∵，，

∴平面面． 

又平面，∴面．  ………10分

（3）．   ． ………14分