Question

（本小题满分13分）已知且，

（1）判断函数的奇偶性；

(2) 判断函数的单调性，并证明；

（3）当函数的定义域为时,求使成立的实数的取值范围.

Answer

（1）为奇函数；（2）当且时，在上是增函数；（3）。

【解析】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．

（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x1=x，x2=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．

（II）在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，再比较f（x1）和f（x2）的大小，从而得出：f（x）是增函数；

（III）由得，结合上一问单调性得到求解。

【解析】
（1）函数的定义域是,关于原点对称

又，为奇函数……………4分

（2）函数在上为增函数

设,且，

则

当时，，，

当时，，，

当且时，在上是增函数……………9分

解法2：，当时，，，当时，， 

当且时，在上是增函数……………9分

（3）由得，

 ，……………10分   ……………11分

解得   ……………13分