Question

（本小题满分14分）设函数。

 （1）若在处取得极值，求的值；

 （2）若在定义域内为增函数，求的取值范围；

（3）设，当时，

求证：① 在其定义域内恒成立；

求证：② 。

Answer

（1）。（2）。经检验适合。（3）见解析。

【解析】本题以函数为载体．主要考查了了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题

（1）先求函数的导函数，根据若x= 时，f（x）取得极值得f′（ ）=0，解之即可；

（2）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可；

(3) ，当时，，，

∴ 在处取得极大值，也是最大值, ，∴，∴放缩法得到结论。

【解析】
（1），…………………………1分

∵在处取得极值，∴，即。经检验适合。…………3分

（2）在定义域为，…………………………4分

要在定义域内为增函数，则在上恒成立。

∴，………………………5分

而，∴。经检验适合。…………………………6分

（3）①，当时，，，

∴…………………………7分

在处取得极大值，也是最大值。

而，∴，在上恒成立，

因此，∴。………………………9分

②，∴，∴………………………10分

∴ 

 …………………………11分

…………………………12分

=

= = ………………………14分