Question

（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴上有一点B，满足且F₁为BF₂的中点.

（Ⅰ）求椭圆 C的离心率；

（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，判断椭圆C和直线的位置关系.

Answer

（Ⅰ）椭圆的离心率． （Ⅱ）直线和椭圆相交．                  

【解析】（I）求出左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A的坐标，通过，且AB⊥AF2，推出a，b，c的关系，结合a2=b2+c2，即可求椭圆C的离心率；

（II）利用（I）求出过A、B、F2三点的圆的圆心与半径，利用圆与直线相切圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，即可求椭圆C的方程．

（Ⅰ）由题意知，，．

因为，所以在中，．             ……2分

又因为为的中点，所以，              ……4分

又，所以．故椭圆的离心率．              ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是，，

的外接圆圆心为，半径．                     ……8分

所以，解得，所以，．

所以椭圆的标准方程为：．                                       ……11分

由得：，可得，所以直线和椭圆相交．           ……13分