Question

（本小题满分13分）

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，F为CD中点.

（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（Ⅱ）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）直线和平面所成角的正弦值为．

【解析】(I)利用向量法证明先建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再证两个法向量垂直即可.

（II）利用向量法求线面角，设直线BF和平面BCE所成角为,平面BCE的法向量为,则利用求值即可.

以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．

    ……1分

设，因为为等腰直角三角形，，且，

所以，，，，                ……2分

所以，，，． ……分

（Ⅰ）设平面的法向量为，则由，得，

令，则．                                          ……5分

设平面的法向量为，则由，得，

令，则．                                            ……7分

所以，所以平面平面．                         ……8分

（Ⅱ）因为为中点，所以，．

则．                     ……11分

设直线和平面所成角为，则

所以直线和平面所成角的正弦值为．                      ……15分