Question

（本小题满分14分）

  已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；              

（Ⅱ）求时，证明：对于任意的且，恒有

（Ⅲ）设是函数的零点，实数满足，试探究实数、 、的大小关系.

Answer

（Ⅰ）的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．

【解析】(I)直接求导，利用导数大（小）于零，解不等式可求出其单调增（减）区间.

(II) 令，则=， 记，再对h(x)求导，研究其单调性求出h(x)的最值，从而证明原不等式.

(III) 因为的单调递增区间为，，单调递减区间为 ，且，从而确定函数的零点只有一个，且，且对内的任意实数，都有，因为，所以，到此找到了解决此问题的突破口.

（Ⅰ）由得或．      ……2分

则的单调递增区间为，，

单调递减区间为．                                            ……4分

（Ⅱ）令，                         

则=，                              ……6分

记，

因为当时，，则在单调递增

又因为，

所以当时，，当时，，

所以在递减，在递增，                              ……8分

所以成立，所以命题得证．                             ……9分

（Ⅲ）因为的单调递增区间为，，单调递减区间为

，且，

所以函数的零点只有一个，且，

且对内的任意实数，都有                           ……11分

因为，所以                              ……12分

所以

在（Ⅱ）的结论中，取，，

则有……①

由，得……②

构造函数

则由①得，由②得

因为

所以为增函数

所以

因为，所以

综上得．                                                 ……14分