Question

已知数列{a_n}是首项a₁＝4，公比q≠1的等比数列，S_n是其前n项和，且4a₁，a₅，－2成等差数列．

(1)求公比q的值；   

(2)求T_n＝a₂＋a₄＋a₆＋…＋a_2n的值．

Answer

 (1) q＝－1.(2) Tn＝na2＝－4n.

【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解，以及等比数列的求和的综合运用。

（1）由题意得2a5＝4a1－2a3.

∵{an}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，

∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0解得q的值。

（2）因为a2，a4，a6，…，a2n是首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，那么利用等比数列的前n项和公式得到结论。

解 (1)由题意得2a5＝4a1－2a3.

∵{an}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，

∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，

解得q2＝－2(舍去)或q2＝1，∴q＝－1.

(2)∵a2，a4，a6，…，a2n是首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，∴Tn＝na2＝－4n.