Question

（本小题满分14分）

定义在上的函数同时满足以下条件：

① 在上是减函数，在上是增函数； ② 是偶函数；

③ 在处的切线与直线垂直.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若存在，使，求实数的取值范围.[

Answer

【解析】
（1）. （2）为所求.

【解析】本题考查函数解析式的求法和求实数的取值范围，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识。

（Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f（x）的解析式．

（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围．

【解析】
（1）……………………1

∵ 在上是减函数，在上是增函数，

∴，           ()   ……………………3分

由是偶函数得：，                 …………………4分

又在处的切线与直线垂直，，                          ……………………5分

代入()得：即.    …………………6分

（2）由已知得：若存在，使，即存在，使.……………………8

设，

则，                …………………10分

令＝0，∵，∴，      

当时，，∴在上为减函数，

当时，，∴在上为增函数，

∴在上有最大值.                

又，∴最小值为. … 13分

于是有为所求.          ……………14分