Question

 (本小题满分12分)

设A₁、A₂是双曲线的实轴两个端点，P₁P₂是双曲线的垂直于轴的弦，

（Ⅰ）直线A₁P₁与A₂P₂交点P的轨迹的方程；

（Ⅱ）过与轴的交点Q作直线与（1）中轨迹交于M、N两点，连接FN、FM，其中F,求证：为定值；

Answer

（Ⅰ）（ ；（Ⅱ）见解析。

【解析】（Ⅰ）利用交轨法来求直线P1A1和P2A2的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A1、A2点的坐标，设P（x0，y0），则N（x0，-y0），求出直线PA1和NA2的方程，联立方程，方程组的解为直线PA1和NA2交点的坐标，再把P点坐标（x0，y0）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹C的方程．

（Ⅱ）设的方程为，，直线MN的方程与曲线C的方程联立消y可得关于x的一元二次方程，解出M，N点横坐标之和与之积代入下式即可证明为定值．

（Ⅰ）设,则的方程为    ①

的方程为   ②  将①×②，得

又在双曲线上，，即，

代入上式 ，得（               ………5分

（Ⅱ）法一：设的方程为，

联立，得  消，得

则

..12分