Question

（本小题满分12分）

已知函数为自然对数的底数）．

(Ⅰ)求F(x)=f(x)g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值；

(Ⅱ)是否存在正常数，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

(Ⅰ)所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值 ；

(Ⅱ)存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为。

【解析】（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，及函数F（x）的最值，考虑到先列出函数的表达式，再根据表达式求出导函数F′（x），根据导函数在区间的正负性判断函数的单调区间，再使导函数等于0求出函数的极值，即可得到答案．

（2）若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，则方程有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点,由(Ⅰ)的结论可知.当a=1时，求f（x）与g（x）的一个公共点，并求它们在该公共点处的切线方程，故根据（1）可判断方程F（x）=f（x）-g（x）有最小值0，故此点即为f（x）与g（x）的一个公共点．再根据导函数求出公共点处切线．即可根据直线方程的求法求出切线方程．

(Ⅰ)…………  1分

①当0时，恒成立，F(x)在(0,+)上是增函数，F(x)只有一个单调递增区间(0,+)，没有最值．…………2分

②当时，，

若，则上单调递减；

若，则上单调递增，

∴当时，有极小值，也是最小值，

即 ………… 5分

所以当时，的单调递减区间为

单调递增区间为，最小值为，无最大值 ………… 6分

(Ⅱ)方法一，若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，

则方程有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点  …… 7分

由(Ⅰ)的结论可知 …………  8分

此时，，

∴∴f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为

又，∴f(x)与g(x)的图象在点处有共同的切线，

其方程为，即 …………  12分

综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为 …………  14分

方法二：设图象的公共点坐标为，

①

②

根据题意得，即

由②得，代入①得，从而 ………… 8分

此时由（1）可知，∴时，

因此除外，再没有其它，使 ………… 11分

故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为 ………… 12分