Question

（本小题满分12分）

已知函数 (R)．

(1)  若，求函数的极值；

（2）是否存在实数使得函数在区间上有两个零点，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer

 (1) ， ；

（2）存在实数，当时，函数在区间上有两个零点。

【解析】本试题主要是考查了运用导数求解函数的极值以及函数的零点问题的运用

（1）先求解导数，运用导数的思想求解得到极值。

（2）假设存在实数a使得函数f=(x)在区间[0,2]上有两个零点,那么根据函数的单调性以及函数的极大值和极小值的符号，来得到参数a的范围。

【解析】
(1)      ………………1分

，

1

-

0

+

0

-

递减

极小值

递增

极大值

递减

，                               …………5分

（2），

，                       

① 当时，在上为增函数，在上为减函数，，，，所以在区间，上各有一个零点，即在上有两个零点；              ………………………7分

②        当时，在上为增函数，在上为减函数，上为

增函数，，，，，所以只在区间上有一个零点，故在上只有一个零点；                                       …………………………9分

③ 当时，在上为增函数，在上为减函数，上为增函数，，，，， 所以只在区间上有一个零点，故在上只有一个零点；                                            …………………………11分

故存在实数，当时，函数在区间上有两个零点。……………12分