Question

定义一：对于一个函数（），若存在两条距离为的直线和，使得在时， 恒成立，则称函数在

内有一个宽度为的通道。

定义二：若一个函数，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道。

下列函数①，②，③，④，

⑤，其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是_____________

Answer

②③⑤

【解析】因为①f（x）=lnx，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；

②，随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；

③，随着x的增大，函数值也在增大，有两条渐近线y=±x，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；

④f（x）=x2，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；、

⑤f（x）=e-x，随着x的增大，函数值趋近于0，趋近于x轴，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道．故答案为：②③⑤