Question

 设函数 

（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；

（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求 的最小值.

（3）证明不等式： 

Answer

（1）；（2）p的最小值为0；（3）见解析。

【解析】本试题主要是考查了运用导数来求解函数的方程的解，以及不等式的证明。

（1）因为关于x的不等式在有实数解，那么只要即可，转化为求解函数的 最大值问题。

（2）设，若关于x的方程至少有一个解，可知分离参数的思想，求解常函数与已知函数有交点时的情况即可。

（3）在上一问的基础上，利用单调性得到不等式，ln(1+x)x,来证明不等式。

（1）依题意得

，而函数的定义域为

∴在上为减函数，在上为增函数，

则在上为增函数

即实数m的取值范围为 

（2） 

则

显然，函数在上为减函数，在上为增函数

则函数的最小值为                     

所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0   

（3）由（2）可知： 在上恒成立

所以   ，当且仅当x=0时等号成立

令，则  代入上面不等式得：

即，   即  

所以，，，，…，

将以上n个等式相加即可得到：