Question

是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．

Answer

满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.

【解析】假设存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同时成立．

由(1)得＋β＝，

所以tan＝＝.

又tantanβ＝2－，所以tan＋tanβ＝3－.

因此tan，tanβ可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解得：x1＝1，x2＝2－.

若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．

所以tan＝2－，tanβ＝1，所以α＝30°，β＝45°.

所以满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.