Question

解答下列各题：

(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm²，求扇形圆心角的弧度数．

(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．

(3)已知一扇形的周长为40cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

Answer

（1） (2) 80π(3) 2, 最大值为100cm2

【解析】(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<

2π)，弧长为l，半径为r，

依题意有

①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.

当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad>2πrad舍去．

当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝rad.

(2)设扇形弧长为l，∵72°＝72×＝ (rad)，

∴l＝αR＝×20＝8π(cm)．

∴S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)．

(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，

∴l＝40－2r，∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.

∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大．

这个最大值为100cm2，这时θ＝＝＝2rad.