Question

已知函数f(x)＝log|sinx|.

(1)求其定义域和值域；

(2)判断其奇偶性；

(3)求其周期；

(4)写出单调区间．

Answer

（1）函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，函数的值域为[0，＋∞)．

（2）f(x)为偶函数（3）T＝π(4) f(x)的单调增区间是 (k∈Z)，

单调减区间是 (k∈Z)

【解析】(1)由|sinx|>0得sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．

即函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

又0<|sinx|≤1，∴log|sinx|≥0.

∴函数的值域为[0，＋∞)．

(2)∵f(x)的定义域关于原点对称，

且f(－x)＝log|sin(－x)|＝log|－sinx|

＝log|sinx|＝f(x)．

∴f(x)为偶函数．

(3)函数f(x)是周期函数，

∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)|＝log|－sinx|

＝log|sinx|＝f(x)，

∴f(x)的周期T＝π.

(4)∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，

u＝|sinx|在 (k∈Z)上是增函数，

在 (k∈Z)上是减函数．

∴f(x)在 (k∈Z)上是增函数，

在 (k∈Z)上是减函数．

即f(x)的单调增区间是 (k∈Z)，

单调减区间是 (k∈Z)．