Question

.已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在θ，使|a＋b|＝|a－b|成立，若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立

【解析】假设满足条件的θ存在，由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)2＝3(a－b)2.

∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，

即|a|2－4a·b＋|b|2＝0，

∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0，

由Δ≥0，得(4cosθ)2－4≥0，

解得cosθ≤－或cosθ≥，

又cosθ∈[－1,1]，

∴－1≤cosθ≤－或≤cosθ≤1，

∵θ∈[0，π]，∴θ∈∪，

故当θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立．