Question

方程8x²＋6kx＋2k＋1＝0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，若能，求出k的值；若不能，请说明理由．

Answer

原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值

【解析】设直角三角形两锐角分别为α、β，设已知方程的两根为x1、x2，

则x1＝sinα，x2＝sinβ＝sin＝cosα

由韦达定理得：

x1＋x2＝sinα＋cosα＝sin

x1·x2＝sinα·cosα＝sin2α

于是有，

即，∴，

易知该混合组无解．

故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值．

[点评] 此题易产生下面错解．

设直角三角形的两个锐角分别为α和β.

已知方程的两根为x1和x2，则x1＝sinα，x2＝sinβ.

又α与β互余，∴x2＝sin＝cosα.

由sin2α＋cos2α＝1得

x＋x＝1⇒(x1＋x2)2－2x1x2＝1.

由韦达定理得： 2－2·＝1⇒9k2－8k－20＝0.解得：k1＝2，k2＝－.

错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0，锐角的三角函数值应为正值的条件．事实上，当k＝2时，原方程可化为8x2＋12x＋5＝0，此时Δ<0，方程无实根．当k＝－时，原方程化为：8x2－x－＝0，此时x1x2＝－，即sinαcosα＝－.∵α是锐角，∴该式显然不成立．