Question

椭圆 上不同三点 与焦点F（4，0）的距离成等差数列．

（1）求证 ；

（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ．

Answer

（10见解析；（2）

【解析】主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系。

证明：（1）由椭圆方程知 ， ， ．

由圆锥曲线的统一定义知： ，∴   ．

同理   ．

∵   ，且 ，

∴  ，

即   ．

（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为

又∵点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得

又∵点 ， 都在椭圆上，

∴ 

∴  ．

将此式代入①，并利用 的结论得