Question

如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)

Answer

【解析】主要考查抛物线定义、标准方程、待定系数法。

如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．

设曲线段C的方程为，

其中分别为A、B的横坐标，．

所以，． 由，得          ①

           ②

联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．

因为△AMN为锐角三角形，所以，故舍去．  ∴p=4，．

由点B在曲线段C上，得．综上得曲线段C的方程为．