Question

甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

Answer

供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

【解析】主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题。

解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50－,∴BC=

=设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50－x)+5

y′=－3+,令y′=0,解得=30

在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，

函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50－=20(km)

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=,  

设总的水管费用为f(θ),依题意，有

(θ)=3(50－40·cotθ)+5=150+40·

∴(θ)=40

令(θ)=0,得cosθ=

根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,

∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.